Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Der Begriff der Konvergenz einer Folge von Funktionen $$(f_{n})$$ gegen eine Funktion $$f$$ , die alle denselben Definitionsbereich $$D$$ haben, kann einfach auf den Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt werden: Man verlangt, dass an jeder Stelle $$x\in D$$ die Zahlenfolge $$f_{n}(x)$$ , für $$n\to\infty$$ gegen $$f(x)$$ konvergiert. Wenn man Aussagen über die Funktion $$f$$ aufgrund der Eigenschaften der Funktionen $$f_{n}$$ beweisen will, reicht jedoch meistens diese so genannte punktweise Konvergenz nicht aus. Man braucht zusätzlich, dass die Konvergenz gleichmäßig ist, das heißt grob gesprochen, dass die Konvergenz der Folge $$(f_{n}(x))$$ gegen $$f(x)$$ für alle $$x\in D$$ gleich schnell ist. Beispielsweise gilt bei gleichmäßiger Konvergenz, dass die Grenzfunktion $$f$$ wieder stetig ist, falls alle $$f_{n}$$ stetig sind. Die gleichmäßige Konvergenz spielt auch bei der Frage eine Rolle, wann Differentiation und Integration von Funktionen mit der Limesbildung vertauschbar sind. Besonders wichtige Beispiele für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen liefern die Partialsummen von Potenzreihen.