On irrotational vector fields with vector lines located on a given surface

Рассматриваются безвихревые векторные поля на поверхности, заданной уравнением $a=z+\alpha(x,y,t)=0$. Изучаются условия, при выполнении которых векторные линии таких полей располагаются на этой поверхности. Получены достаточные условия существования гармонического векторного поля с такими векторными линиями. Изучена переопределенная система уравнений в частных производных, решение которой обеспечивает получение гармонического поля, векторные линии которого лежат на заданной поверхности рассматриваемого вида. Выписано уравнение поверхности, для которой можно найти гармоническое векторное поле с векторными линиями расположенными на этой поверхности. Показано, что для любых поверхностей рассматриваемого вида можно найти безвихревые негармонические векторные поля с векторными линиями, расположенными на заданной поверхности. Приведен ряд поверхностей, для которых указаны гармонические или негармонические безвихревые векторные поля с векторными линиями расположенными на этих поверхностях. Рассмотрена система уравнений Навье - Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в безразмерном виде. Для этой системы в предположении потенциальности поля скоростей выписано частное решение, обеспечивающее расположение векторных линии поля скоростей на параболоиде вращения.

Irrotational vector fields are considered on the surface given by the equation $a=z+\alpha(x,y,t)=0$. The conditions under which the vector lines of such fields are located on this surface are studied. Sufficient conditions for the existence of a harmonic vector field with such vector lines are obtained. An overdetermined system of partial differential equations is studied, the solution of which provides a harmonic field, the vector lines of which lie on a given surface of the considered type. The equation of the surface is written, for which it is possible to find a harmonic vector field with vector lines located on this surface. It is shown that for any surfaces of the type under consideration, one can find irrotational nonharmonic vector fields with vector lines located on a given surface. A number of surfaces are given for which harmonic or nonharmonic irrotational vector fields with vector lines located on these surfaces are obtained. Navier - Stokes equations for a viscous incompressible fluid in nondimensional form are considered. For this system, under the assumption that the velocity field is potential, a particular solution is written that ensures the location of the vector lines of the velocity field on a paraboloid of revolution.